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¿cual sera la altura de la caja si quiero que el volumen sea lo mayor posible?
#1
Resuelto

Tengo un pedazo de madera rectangular de 2 metros de altura por 3 metros de lado. si quiero armar una caja de base circular sin tapa, ¿ cual sera la altura de la caja si quiero que el volumen sea lo mayor posible? (considere al cortar los pedazos para armar la caja NO HAY DESPERDICIOS con lo cual el area total de la madera que forma la caja es igual al area del pedazo inicial de madera).


Me falta resolver
(resuelva el mismo problema para una caja con tapa donde la altura de la tapa es un decimo de la altura de la caja)

solucion primera parte:

El área de tu caja cilindrica será:
A = π*r² + 2π*r*h

donde r es el radio de la base y h es la altura del cilindro. Esta área debe ser igual al área inicial de la madera (6 m²). Despejas h:
h = (A - πr²) / 2πr
h = (6 - πr²) / 2πr
h = 3/πr - r/2

El volumen del cilindro es:
V = π*r²*h

Sustituye el valor de h en esta expresión.
V = π*r² (3/πr - r/2)
V = 3r - π*r³/2

Para saber el volumen máximo, deriva esta expresión con respecto a r e iguala a 0:
dV/dr = 0
3 - 3π*r²/2 = 0
3 = 3π*r²/2
1 = π*r²/2
2/π = r²
r = √(2/π)
r ≈ 0.7978 m

Este es el valor del radio para que el volumen sea máximo, y la altura es:
h = 3/πr - r/2
h = 3/π(0.7978) - 0.7978/2
h ≈ 0.7978 m

Esto quiere decir que el volumen del cilindro será màximo cuando r = h ≈ 0.7978 m ≈ 79.78 cm.
molitzmo, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Apr 2012.
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#2
Para la caja con tapa, sumar: área del círculo y área de la altura de la tapa de ancho h/10; entonces el área total queda:

A = π*r² + 2π*r*h + π*r² + 2π*r*h/10 = 2π*r² + 22π*r*h/10

El volumen queda igual: V = π*r²*h

De aquí en adelante, el procedimiento es el mismo.

Un saludo.
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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