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Demostración
#1
¿Como demostrar ? Suponiendo que lo sea claro está.

Bueno dicho de otra manera:

¿? Podrías demostrar la respuesta.
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#2
Imagino que la desigualdad será , pues en caso contrario con la desigualdad no se cumple.

Se me ocurren varias maneras por las que proceder, como inducción o reducción al absurdo. Veamos como sale por reducción al absurdo:

Supongamos que



Luego, si elevamos todo a n, tenemos lo siguiente:

[tex] n<k^n [\tex]

Ahora, como k es menor que uno, al multiplicarlo por sí mismo un número arbitrario de veces, el resultado va a seguir siendo menor que uno, luego:



Y por tanto:



Lo que implica:



Ahora, esto es imposible pues n es un número natural mayor o igual que uno (de hecho, no puede haber naturales menores que uno), luego lo que hemos supuesto es falso, por lo que la afirmación inicial es cierta.
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#3
(11-04-2015, 10:39 AM)IMC00 escribió: Imagino que la desigualdad será , pues en caso contrario con la desigualdad no se cumple.

Si me equivoqué, lo siento.

(11-04-2015, 10:39 AM)IMC00 escribió:

Luego, si elevamos todo a n, tenemos lo siguiente:


Supongo que has querido decir:

Al elevar todo a n nos queda:







Pero es correcto por que has supuesto de la n no habías dicho nada.

Muchas.
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#4
Efectivamente se me ha colado,



Y sí, sobre n hemos supuesto que es un número natural (que es para lo que se suele utilizar una incógnita que se llama n).

Básicamente, con el razonamiento que he hecho se llega a la conclusión siguiente:



Con lo cual:



Que evidientemente no puede ser cierto. Wink

Saludos.
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#5
Por inducción:



"1 cumple P"

"supongo que k cumple P"



¿?

Elevando a respectivamente (No se si esto es correcto)





Luego es cierto

(11-04-2015, 01:50 PM)IMC00 escribió: Efectivamente se me ha colado,



Y sí, sobre n hemos supuesto que es un número natural (que es para lo que se suele utilizar una incógnita que se llama n).

Básicamente, con el razonamiento que he hecho se llega a la conclusión siguiente:



Con lo cual:



Que evidientemente no puede ser cierto. Wink

Saludos.

Lo veo, lo veo.

Muchas gracias.
  Responder
#6
(11-04-2015, 02:07 PM)Buscon escribió: Elevando a respectivamente (No se si esto es correcto)


No es correcto. Sad Una implicación lógica no es una igualdad aritmética, y aunque así lo fuera, no puedes elevar a cosas distintas a los dos lados. Lo que has de hacer es partir de lo que sabes y llegar a la conclusión que quieres. Yo haría algo como.



Y voilá, así llegas. Big Grin

Si estudias matemáticas, al final acabarás acostumbrado a hacer cosas de esas.

Saludos.
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#7
Pues todo esto venía por que quiero demostrar que



utilizando la siguiente definición de límite:


"Una sucesión de números reales converge a un número real , o tiene por límite, si:


"

Tengo que:

;

entonces:




Sea

En adelante uso para abreviar.



Demostración (por gentileza de IMC00) que escribió:

Supongamos que

elevando a n

pero partimos del supuesto entonces no puede ser cierto.

así pues, c.q.d.



































Divido por n











Divido por














Divido por






.

.

.


















Y de aquí no se como salir. A ver si me echáis un cable. Gracias. Saludos.
  Responder
#8
Sea e^y=n^(1/n)

Por logaritmo:

y= Ln(n)/n Hallando limite n-> Infinito: y=0 (aplicando L'Hopital)

=> e^y=n^(1/n) el limite es 1

Saludos
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#9
Si, es bastante más fácil. Lo paso a Latex







Aplicando L'Hopital



Entonces nos queda:




Muchas gracias.
  Responder
#10
Aunque el resultado final es correcto, el procedimiento no lo es, porque en teoría no puedes aplicar L'Hôpital a sucesiones, aunque luego todo el mundo lo haga. Wink

Creo que quedaría mejor diciendo que el límite es 0 directamente, pues, como todos sabemos, el crecimiento del logaritmo es menor que la de un polinomio.

Saludos
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