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Demostracion de propiedades de los vectores
#1
Demostrar que para v y u vectores cualquiera de ℝ³, vale que:

1) v x (r.u) = r.(vxu) para todo r ε ℝ (x, producto vectorial)
2) |vxu|² = |v|².|u|² - (v.u)²
3) |vxu| = |v|.|u|.sen β

Gracias, de antemano.
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#2
1) Denotamos a v=(a b c) y u=(d e f)
(rv) x u = r(a b c) x (d e f) = (rbf - rce, rcd-kaf, rae-rbd) = r(bf-ce, cd-af, ae-bd) = r(v x u)

2)|v x u|² = (|v||u|sinβ)² = |v|²|u|² sin²β = |v|²|u|² (1-cos²β) = |v|²|u|² -|v|²|u|²cos²β = |v|²|u|²-(|v||u|cosβ)² =
|v|²|u|²-(v·u)²

3) Si utilizas la propiedad anterior, tienes que |v x u|² + (v·u)² = |v|²|u|² , que es igual a |v x u|² + |v|²|u|²cos²β = |v|²|u|²
entonces |v x u|² = |v|²|u|² - |v|²|u|²cos²β = |v|²|u|²(1-cos²β) = |v|²|u|²sin²β = (|v||u|sinβ)², luego |v x u| = |v||u|sinβ.

Saludos.
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