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Demuestre que a^r_n converge a 0, si 0<a<1 y r_n tiende a mas infinito
#1


Demuestre que si es una sucesión de números racionales divergente a más infinito y , entonces converge a cero.


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#2
Tengo esta:

Sea la parte entera de una sucesión cualquiera, , de números racionales divergente a . Entonces existirá , tal que si , se tendrá que , , y por consiguiente podemos aplicar la desigualdad de Bernoulli,


,




con lo que obtenemos,


,

como , tenemos que y dependientes de , o sea,

, con y tomando valores aleatorios en , respec.

, dependientes de .


Está demostrado que , y como además , entonces, toma valores en , lo que implica que



, siempre y cuando ,

(obsérvese que aunque , por ser divergente a , existe tal que si , entonces , y por lo tanto y por consiguiente ),



ahora, como , haciendo y sustituyendo,


,

al aplicar la regla del sándwich c.q.d.

¿Alguna más corta? Gracias.
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#3
Como r_{n} tiende a infinito cuando n tiende a infinito y ã es un real entre 0 y uno existe entonces un racional 1/q tal que ã < 1/q con q > 1, ahora bien, como (1/q)^{r_{n}}=1/(q^{r_{n}}) > (ã^{r_{n}) > 0 de donde tenemos el resultado

PD, ando con la que tablet y no puedo, no entiendo por que, escribir en látex.... Luego lo edito
Mambrú se fue a la guerra ay que dolor que dolor que pena...
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