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Duda sobre el Polinomio/Teorema de Taylor
#1
Buenas,
Estoy estudiando el teme de Polinomio de Taylor pero no entiendo porque en la definición:
"Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:
[Imagen: tay1f.png]
Se coloca (x-a) que es lo que se quiere decir(matematica o geometricamente) cuando colocamos eso?
Lo que pasa es que entiendo la definicion del Polinomio de Taylor cuando a=0, es decir del Polinomio de McLaurin, pero cuando aes diferente de 0 me pierdo. Alguien me lo podría explicar por favor, o por lo menos decirme donde encontrar información al respecto? Gracias![/align]
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#2
La recta tangente de una función en un punto viene dada por la expresión:

el polinomio de Taylor es una generalización de la ecuación anterior.
Si x está cerca de a f(x) un polinomio de grado 1 cerca de a es decir se llama polinomio de Taylor de grado n para f en a al polinomio.



Llamamos polinomio de Mclaurin cuando a=0. Se utiliza para la aproximación de valores de una función. Al ser a=0 podríamos decir que es la fórmula de Taylor donde se comete menos error de aproximación.
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#3
Al margen de la definición matemática del polinomio de taylor, es importante que entiendas que significa o para que sirve el polinomio en si.

En primera instancia, el polinomio de taylor sirva para poder expresar una función cualquiera (que tiene que tener ciertos requisitos etc etc.) en, valga la redundancia, en polinomios (sumas y multiplicaciones nada mas). Lease como: Expresar una funcion "dificil" en terminos de otra funcion "facil".
Si te quedas, por ejemplo, con los 2 primeros terminos, lo que resulta es una funcion LINEAL, que es una funcion muy linda para trabajar, esa es una verdadera aplicacion del polinomio de taylor.

Que el polinomio sea de Mc Laurin o de Taylor es una vanalidad, uno se diferencia del otro dependiendo que punto "partir" para hacer el desarrollo y no por esto "se comete mas error", el error solo depende de la cantidad de terminos que tomes, (Esto puede demostrarse con el hecho de que si una funcion f(x) tiene un polinomio de taylor en x=a, tomar la funcion g(x) = f(x)- f(a), el polinomio de mc laurin coincide con el polinomio de taylor de f(x)), el error tiende a cero a medida que la cantidad de terminos tiende a infinito.
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