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Duda sobre la demostracion de la acotacion de esta sucesion
#1
Buenas,
Bueno lo que tengo que demostrar es si la sucesion definida recursivamente:
****************************
a1=1 y a(n+1)=sqrt(1+an), es decir raiz quadrada de (1 más an)
****************************
esta acotada. Ya demostre por inducción que la sucesion es monotona.
*)Ahora me dispongo a demostrar que que esta acotada de la siguiente forma:
Sabemos que la sucesion es monotona por lo tando an<a(n+1)
<->an<=sqrt(1+an) |elevando a 2
<->(an)^2<=1+an
<->(an^2)-(an)<=1
<->an(an-1)<=1
<->(an-1)^2<=an(an-1)<=1
->an^2-2an+1<=1
<->an^2-2an<=0
<->an(an-2)<=0
Ya que an es como minimo 1, nunca sera menor o igual que 0, por lo tanto utilizando el segundo factor:
an-2<=0
<->an<=2
Así queda demostrado que an es como maximo 2.
Mi pregunta es si esto es suficiente para demostrar que an esta acotada, de no ser así por que? En el libro, donde pone la solución lo hace a traves de inducción y puede que incluso sea mas corta, pero yo solo quiero saber si el procedimiento que he utilizado es correcto. Gracias!
PD: De llegar a estar correcto se podría asegurar que el limite de la sucesion pertenece al intervalo [1,2) o debería ser [1,2] Gracias again!
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