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ejercicio calculo en varias variables
#1
Sean


definida por y C la circunferencia parametrizada por . Señálense las proposiciones verdaderas:

a) para todo

b)

c)

d)Existe tal que

e) es un abierto estrellado

f)Ndla


    Me podria explicar alguien este ejercicio, gracias.
ubeballes, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Apr 2012.
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#2
a) Es verdadera.





Hacer derivada parcial de f2 con respecto a x y luego hacer la derivada parcial de f1 con respecto a y. Verificar que son iguales.

b) Es verdadera

Aplicar el teorema de Stokes:



Calcular el rotacional de la funcion vectorial f(x,y), estas son precisamente el ejercicio a), el rotacional es cero; por consiguiente la integral de linea es cero.

d) Es verdadera

Si la integral de línea es cero y f(x,y) es continua, entonces existe una funcion escalar F(x,y) tal que: Grad F(x,y) = f(x,y)

Saludos.
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#3
No entiendo algo. Se puede aplicar el teorema de Stokes? La función no está definida en (0,0), pero como lo excluyen podemos decir q es continua en el dominio, ahí vale aplicarlo, no? Pero si uno calcula la integral del punto b sin usar el teorema, da 2pi. Qué está mal?
Circe, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Apr 2012.
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#4
Hola Circe:

Se puede escoger una superficie con forma de una semiesfera por ejemplo y que no pasa por el punto (0,0) siempre y cuando este limitada por la curva que figura en la integral de línea. Esto para realizar la integral de superficie.

En cuanto a la integral de línea también la resolví con resultado 2Pi, después de un buen rato del porque de ésta incongruencia; recurriendo a los libros me encontre el mismo ejercicio y allí esta la solución del porque es cero, se debe realizar la integral de linea interior para excluir el punto (0,0). Como la imagen vale más que mil palabras.
Saludos. Wink

PD: ¿Que significa: A es un abierto estrellado?

[Imagen: 415IntegralLinea.gif]
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#5
Gracias ixupi!

Igual la integral cerrada sobre la curva C1 ahí también da 2*pi. Lo que está dando cero es sobre la nueva región que te defines, y ahora son dos curvas. No se aplica el teorema directamente sobre C1 y la región que delimita xq es donde está el problema de esa función, el (0,0). Lo que digo es que no se puede usar el teorema para calcular la integral de curva sobre C1. Está bien que sea 2*pi.
Circe, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Apr 2012.
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#6
Otra forma de demostrar que la integral cerrada de linea es cero si una función vectorial f(x,y) es el gradiente de una función escalar F(x,y):
Grad F(x,y) = f(x,y).

Tendriamos que la diferencial total de F(x,y) es: dF = Grad F(x,y) . dr = f(x,y).dr =>



Si a = b como ocurre en la integral cerrada, además son integrales que no dependen de la trayectoria de integración => La integral es cero.

La funcion vectorial:



equivale al gradiente de la siguiente función escalar:



Mirando la integral de linea: si realizamos la integral de linea tomando en cuenta solamente la circunferencia exterior estamos ignorando el punto(0,0); la circunferencia interior corresponde realmente a una sola trayectoria de integración que sí toma en cuenta el punto singular(0,0). Cuando existen punto singulares, la región debe ser delimitada en una region simplemente conexa. La trayectoria esta representada en el siguiente diagrama:
[Imagen: 826circulacion.gif]

Realizar la integral sobre la circunferencia exterior C1 y en la dirección indicada, luego la integral de BC, luego integral sobre C2 y luego integral de CB. Como las integrales BC y CB se anulan realmente quedan las integrales sobre C1 y C2. El radio de C2 se puede hacer infinitamente pequeño; pero como se cancela realmente no tiene importancia en la integración como se ve en la imágen de la página del libro.

Al final me quedaron algunas dudas cuando represento el campo vectorial como si fuera un campo electrico y realizo la integral de linea; algo no encaja muy bien. Ha sido interesante todas estas cuestiones.
Saludos. Smile
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#7
Gracias ixupi. Ahora sí entendí!
Circe, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Apr 2012.
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#8
(08-04-2012, 06:26 PM)Circe escribió: Gracias ixupi. Ahora sí entendí!
Me alegro que hallas entendido, porque ahora soy yo el que estoy confundido, jeje.
Gracias por tus aportes, me sirvio mucho para entender un poco mejor la teoria aunque no del todo.
Saludos. Smile
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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