• 2 voto(s) - 5 Media
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Demostración
#11
Ok. Gracias. Ahí va pues la demostración más corta de la que soy capaz, con ayuda de algún que otro matemático, claro está.

______________________________________________________________________________
Muestre usando la siguiente definición:

"Una sucesión de número reales converge a un número real , o tiene por límite si:


"

que
______________________________________________________________________________


Solución:

Aplicando la definición a este caso tenemos que:

;

Entonces tengo que demostrar que:



De ahora en adelante y para abreviar



así pues tengo que demostrar que:



Tengo que entonces , si elevo ambos lados de la desigualdad a me queda:




Por ser tengo que y por lo tanto pudiendo así simplificar lo que tengo que demostrar a:



Bien, ahora por cortesía de algún que otro gran matemático:

Sea , como , tenemos que ha de ser . Entonces:



Sumando 1 a la desigualdad obtenemos:





Elevando a n la desigualdad obtenemos:






Desarrollamos la potencia de la suma por la fórmula de Newton:











y observamos que por ser todos los términos del desarrollo positivos, uno solo de ellos, por ejemplo,

es menor o igual que la suma total, es decir;




Sustituyendo por su valor









Pero y es , entonces:


Como la sucesión de la derecha tiende a 0, tenemos por la regla del sandwich que





y esto solo es posible si


Opsss! resulta que es

Supongo que ya quedaría demostrado lo que me pide el ejercicio, pero continúo, intentando darle un poco más de rigor a la solución:

Intentando demostrar que:



encontré "por casualidad" Smile que:






Si encuentro que verifique:

,
como , habré encontrado el que verifica:

;

así pues:

















Volviendo a la demostración planteada inicialmente y sustituyendo por sus valores



Es decir, fije el que fije, todos los hacen que la distancia de a 1 sea menor que el fijado.

O, dicho de otro modo,

Saludos. Gracias.
  Responder


Posibles temas similares...
Tema Autor Respuestas Vistas Último mensaje
  Demostracion de propiedades de los vectores Merrick 1 970 07-02-2014, 02:35 AM
Último mensaje: galle
  Ayuda con demostración transformada z. alanayala 0 785 06-02-2014, 08:32 AM
Último mensaje: alanayala
  [ayuda] demostracion de limites silvertw 1 1,148 15-01-2014, 01:56 AM
Último mensaje: Fibonacci
  Divergencia de serie geométrica: Mi demostración esta bien? alfred_oh 1 1,365 17-06-2013, 07:28 PM
Último mensaje: alfred_oh
  Ayuda con demostración de esta igualdad alfred_oh 2 1,618 30-04-2013, 11:02 AM
Último mensaje: alfred_oh
  Demostracion de que la sucesion (-1)^n diverge alfred_oh 0 1,088 30-12-2012, 01:32 AM
Último mensaje: alfred_oh
  Demostracion de convergencia a través del criterio de comparación o del mayorante alfred_oh 0 1,105 23-12-2012, 06:56 PM
Último mensaje: alfred_oh
  Duda sobre la demostracion de la acotacion de esta sucesion alfred_oh 0 1,094 22-12-2012, 11:44 PM
Último mensaje: alfred_oh
  Demostracion de monotonia y continuidad de tangente, coseno y seno HIPERBOLICOS alfred_oh 2 2,627 27-11-2012, 09:31 PM
Último mensaje: pear

Salto de foro:


Usuarios navegando en este tema: 1 invitado(s)