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Distancia minima a tres puntos (multiplicadores de Lagrange)
#1
Hola, tengo un problema de multiplicadores de Lagrange que no sé como plantear, el problema es el siguiente:

Un supermercado desea colocar una bodega para abastecer a tres de sus supermercados. El primer supermercado se situa a 8 Km. al oeste del segundo supermercado y este a 6 Km. al norte del tercer supermercado. Los analistas de costos de Carrefour han calculado que sus costos de transporte son proporcionales al cuadrado de la distancia entre la bodega y los supermercados. Si el segundo supermercado se localiza en el origen del sistema de coordenadas, determinar en que lugar se debe construir la bodega de abastecimiento a fin de minimizar los costos de transporte.

Agradecería que alguien me indique como plantear las ecuaciones, yo tenia pensado que la función costo sería
C(x,y)=(\sqrt{ x^2 + y^2}+\sqrt{(x+8)^2 + y^2 } +\sqrt{ x^2 + (y+6)^2})^2
y no se que poner como restricción, ¿alguna idea? solo necesito saber plantear el problema. Agradezco cualquier ayuda.
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#2
Coordenadas de cada supermercado:
A(-8,0)
B(0,0)
C(0,-6)


El costo es proporcional al cuadrado de la distancia entre la bodega y los supermercados: C=K*d^2

C(x,y)=K*[x^2 + y^2 + (x+8)^2 + y^2 + x^2 + (y+6)^2]

Minimizar C(x,y), minimiza a su vez la distancia, no veo cual restriccion imponer. Hallar el minimo por derivada parcial:

Dx[C(x,y)]=0 -> X=-8/3

Dy[C(x,y)]=0 -> Y=-2

Coordenadas de la bodega (-8/3,-2), coincide con el baricentro del triangulo ABC.

Saludos.
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#3
(12-04-2015, 06:12 AM)ixupi escribió: Coordenadas de cada supermercado:
A(-8,0)
B(0,0)
C(0,-6)


El costo es proporcional al cuadrado de la distancia entre la bodega y los supermercados: C=K*d^2

C(x,y)=K*[x^2 + y^2 + (x+8)^2 + y^2 + x^2 + (y+6)^2]

Minimizar C(x,y), minimiza a su vez la distancia, no veo cual restriccion imponer. Hallar el minimo por derivada parcial:

Dx[C(x,y)]=0 -> X=-8/3

Dy[C(x,y)]=0 -> Y=-2

Coordenadas de la bodega (-8/3,-2), coincide con el baricentro del triangulo ABC.

Saludos.

Gracias, pero ¿la función costo no estaría incorrecta? porque lo que me indica es que la suma al cuadrado es la suma de cada termino al cuadrado ¿no es eso incorrecto? por eso en mi función costo yo elevaba todo al cuadrado al final y no término por término.
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#4
Juntas ecuaciones son logicamente posibles. Por ejemplo, si tenemos los tres supermercados A,B,C y la bodega P. Costo=K*d^2

Si distancia AP=a el costo es K*a^2
Si distancia BP=b el costo es K*b^2
Si distancia CP=c el costo es K*c^2

Costo total: Ct=K*a^2+K*b^2+K*c^2=K*(a^2+b^2+c^2) (es la ecuacion que he planteado y corresponde al costo por distancia individual)

La otra forma de ecuacion es Ct= K*(a+b+c)^2 (corresponde a costo por distancia total, no individualizado)

Analizando las dos ecuaciones, vemos que el costo por distancia total es mayor que el costo por distancia individual. !!!???!!!!

Aqui queda la duda como interpretamos el problema.

Ahora debemos mirar como es el recorrido de los tres supermercados: sale de la bodega, recorre los tres supermercados y regresa a la bodega, posible restriccion; seis recorridos posibles, realmente tres.

Mirando la figura, el recorrido del cuadrilatero PABC sería un recorrido triangular si la bodega se situa en el trayecto entre dos supermercados ó en el punto de un mismo supermercado.
ixupi, proud to be a member of Resolucion de problemas matematicos - resolver problemas de matematicas since Nov 2011.
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#5
(13-04-2015, 04:55 AM)ixupi escribió: Juntas ecuaciones son logicamente posibles. Por ejemplo, si tenemos los tres supermercados A,B,C y la bodega P. Costo=K*d^2

Si distancia AP=a el costo es K*a^2
Si distancia BP=b el costo es K*b^2
Si distancia CP=c el costo es K*c^2

Costo total: Ct=K*a^2+K*b^2+K*c^2=K*(a^2+b^2+c^2) (es la ecuacion que he planteado y corresponde al costo por distancia individual)

La otra forma de ecuacion es Ct= K*(a+b+c)^2 (corresponde a costo por distancia total, no individualizado)

Analizando las dos ecuaciones, vemos que el costo por distancia total es mayor que el costo por distancia individual. !!!???!!!!

Aqui queda la duda como interpretamos el problema.

Ahora debemos mirar como es el recorrido de los tres supermercados: sale de la bodega, recorre los tres supermercados y regresa a la bodega, posible restriccion; seis recorridos posibles, realmente tres.

Mirando la figura, el recorrido del cuadrilatero PABC sería un recorrido triangular si la bodega se situa en el trayecto entre dos supermercados ó en el punto de un mismo supermercado.

Gracias, si hago la función de costo total me parece muy difícil hallar el valor mínimo ya que queda un sistema de ecuaciones en donde es complicado despejar las variable. Con lo de costo individual ya entiendo mejor. De nuevo, muchas gracias.
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