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La distribución normal
#1
La distribución normal


La distribución normal o de Gauss es la distribución continua más importante. Esta función representa probabilísticamente fenómenos aleatorios en los cuales el mayor número de valores se sitúa en el centro de la distribución y una parte escasa de la distribución se sitúa en los extremos.
Esta distribución la encontramos en numerosos fenómenos naturales y sociales. Fenómenos como la altura de una población en relación con su edad, en el coeficiente de intelectual, en los procesos de producción o en las notas de los estudiantes de una escuela pueden ser algunos ejemplos.
Como cualquiera variable aleatoria continúa, la distribución normal se puede calcular a partir de su función de densidad. Entonces podemos afirmar que una variable aleatoria continua X de esperanza µ i desviación estándar σ sigue una distribución normal, y podemos simbolizarlo como siempre su función de densidad presenta la siguiente expresión:


La esperanza i la desviación estándar de la variable aleatoria X coinciden respectivamente con los parámetros µ y σ.

Las características o propiedades de la distribución normal son:
  • El dominio de la función
  • El recorrido es
  • Es simetrica respecto de la recta x = µ
  • Es estrictemente creciente en el intervalo
  • Es estrictamente decreciente en el intervalo
  • El valor máximo de la distribución es en

  • En el eje de abscisas presenta una asíntota horizontal por la derecha y por la izquierda. (No corta con el eje de abscisas ya que las funciones exponenciales son siempre positivas. Corta con el eje vertical en el punto de ordenada: . Por lo tanto

  • En referencia a su simetría se verifica que:
    -

    -

    -

    -

  • Presenta dos puntos de inflación en x = µ i en x = µ - σ

  • Como es una función de densidad, el área que determina la corva del eje horizontal es 1

En la siguiente figura podemos ver la distribución normal:

[Imagen: 549text127.png]

Si X es una variable aleatoria continúa entonces podemos comprobar que la probabilidad de que X tome valores más pequeños o iguales que x esta determinado por:


Siendo X una variable con distribución normal, para aplicar el calculo de probabilidades de dicha variable se tiene que recurrir a cálculos complejos. Para facilitar el trabajo tenemos una distribución con µ = 0 y σ = 1 la cual es llamada distribución normal estándar.

[Imagen: 3290_1.png]

La función de la distribución normal estandarizada es la siguiente:


La probabilidad se calcula por medio de la siguiente integral:

Dejando de banda el calculo probabilistico anterior, el metodo más rápido y más utilizado para calcular la probabilidad, es por medio de una tabla . Podéis ver la tabla en el siguiente enlace http://www.foro.resuelveproblemas.com/at...php?aid=30.

La tabla , presenta una distribución:


[Imagen: 462P1.png]

Distribución normal con µ = 2 y  σ = 2

[Imagen: 1062_2.png]

Según su apuntamiento recibe el nombre de platicúrtica.

Distribución normal con µ = 5 y σ = 0,5

[Imagen: 644dist5_0_5.png]

Según su apuntamiento recibe el nombre de leptocúrtica.

2.1 Estudio diferencial de la función normal











Finalmente, nos que la función derivada como:




2.2 Estudio diferencial de la función normal estandarizada

A continuación derivaremos la función estandarizada para comprobar la monotonía mostrada anteriormente.







La derivada de podemos comprobarlo aplicando la regla de la división:





La derivada de podemos comprobarla:










Entonces la función derivada nos queda como:







Una vez la obtenemos la derivada, la igualamos a cero y buscamos los valores que anulan dicha derivada.








Entonces para buscar la monotonía (Máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento), situaremos el valor 0 en la recta real.

[Imagen: 904recta_derivada.png]


Como vemos en la figura, hay un máximo absoluto en x = 0 es decir en la posición
Y la función crece y decrece siendo µ = 0

Fibonacci


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