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Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI
#1
Hola no entiendo las soluciones del siguiente ejercicio

   

Entiendo como se consigue la transformada de Fourier de y(t)
pero no entiendo que propiedades se utilizan para obtener tan "rápidamente"
las salidas cuando tienes esas entradas.

Lo que yo hago es sustituir la t de y(t) por el nuevo argumento de las nuevas entradas,
por ejemplo para el primer caso sustituyo t por 2t en y(t), es decir desarrollo y(2t) pero no
obtengo la solución del profe.

Alguien me podría ayudar o por lo menos explicar el mecanismo general por favor? Muchas gracias!
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#2
Hola.
Justamente es un ejercicio para usar las propiedades de la transformada de Fourier.

Voy a empezar por el Ejercicio (B)

La respuesta al IMPULSO, o sea, h(t), es la respuesta que da el sistema, cuando la entrada es la delta de dirac temporal, llamemosla delta(t). Ahora, ¿qué pasa si integrás la función delta(t) en el tiempo? obtenés una función que no es nada más ni nada menos que la función escalón o la función de Heaviside.

Por lo tanto, si tu sistema tiene una respuesta al impulso h(t), con su transformadada H(w) (llamada despuesta en frecuencia), la respuesta al ESCALON o a la función de heaviside no es otra cosa que la respuesta a la integral temporal de delta(t). O bien, dicho al revés, la respuesta al impulso es la respuesta a la DERIVADA temporal de la función escalon.
Usando esto, usas la propiedad de TF[f'(t)] = iw F(w), donde TF[] es la transformada de Fourier de lo que está entre corchetes y el apóstrofe denota la derivada temporal. De ahí sale la respuesta de lo que figura en tu scan.

Sigamos con el Ejercicio (A):

a) La respuesta es que la salida al sistema, y(t), es exactamente igual si a la entrada tenes x(t), x(2t), x(324324t), x(0.0000005t) o x(at) siendo a positivo. Esto sucede porque x(t) es un escalón, o sea, vale cero para t<0 y 1 para t>=0, el factor de escala no afecta en nada porque no se altera la función. Si no me creés, utilicemos la propiedad de la transformada de Fourier que dice:

TF[ f(at) ] = (1/|a|) * F(w/a)

La transformada de fourier de la función de Heaviside es U(w) = (1/jw) + delta(w), usando la propiedad nos queda:

TF[u(at)] = (1/|a|)* a/jw + delta(w/a) = (1/|a|)* a/jw + delta(w), como en nuestro caso, a = 2, es positivo y se cancela con |a|. Por otro lado por más que escales la delta (delta(w/a) ) siempre queda igual y por lo tanto te da el mismo resultado.

b) Este ejercicio se puede hacer de varias formas, sin embargo la más clara es averiguando primero la respuesta al impulso (Ejercicio (B)) y observar que H(w=0) = 0, la transformada de fourier de una constante te da una k*delta(w), como esta función vale cero en todos lados excepto en cero, cuando se multiplican las transpformadas de fourier, te va a quedar cero.

c) Es igual que en el caso del ejercicio a), pero con a = -1

d) Si usás el comentario que hice del ejercicio (B), utilizás la misma mecánica para resolverlo.

Saludos.
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