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Raíces "complejas"
#1
Hola, soy nuevo en el foro, y os traigo una pregunta, quizá un tanto extrema, que no consigo aclarar por mi mismo.

Primero, un poco de teoría básica:

ó



En la relacion que existe entre raices y potencias, cabe decir que esto mismo se puede expresar como:

ó



Sin embargo, tal y como se eneñan las potencias, -y esto tiene que ver mucho con la pregunta final- se hace difícil imaginar, o al menos para mí lo es, como representar esto literalmente, es decir:



pero...

aaa... 8*cuanto?, medio ocho * medio ocho (que no 4 por 4)?



Además, sabemos que cuando el índice de una raíz es impar, es posible calcular el resultado para un número negativo sin meternos en números complejos:

Par:


Impar:




El índice no puede ser cero, porque puesto en forma de potencia:

es un número elevado a infinito, es decir, igual a infinito



Pero aún hay más, el índice de una raíz también puede ser negativo, cosa que invierte el resultado (1/resultado) :






Esto en forma de potencia significa invertir la base, para dejar el exponente de la potencia como un número positivo, de esta manera:



como aquí:







...y por supuesto, podemos combinar ambos negativos:







Además, está claro que mientras que estamos acostumbrados a las raíces de índice entero (raíz cuadrada, cúbica, etc...), existen las flotantes:









Ahora bien, y aquí es donde la cosa se pone interesante: Si bien está claro que sólo podemos calcular las raíces de índice impar sin necesidad de usar números complejos, ¿qué sucede cuando el índice de una raíz no es un entero?.
Sabemos que con un índice 2, -*- ó +*+ siempre será +, y que con un índice 3, -*-*- ó +*+*+ pueden ser ambas cosas, pero si el índice es flotante, ¿Cómo ejecutamos exactamente la operación de signos? No existe la "fracción de -" * "fracción de -". Si bien podemos calcular el valor de raíces de índice flotante, ¿Cómo calculamos su signo?


Un saludo al foro
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#2
Muy interesante tu discusión. Respecto a lo que planteas de la 'interpretación' de una potencia con exponente fraccionario. No es tan el echo de ver el paralelismo con la potencia con exponente entero sinó que se cumple una igualdad. Es decir si por definición se dijo que 8*8 se denotaría como 8², 

la siguiente pregunta que aparece, la que tu planteas es, ¿qué diablos es?  o dicho de otra forma ¿existen potencias no enteras?. La respuesta es sí. 
tomando logaritmos neperianos (por ejemplo) se tiene que  y vemos que el número existe por depender de la función exponencial que es una función continua en todo R. Y la función logaritmo, que va a existir porque esta definida para números mayores a 0 y 8>0. 
Además tienes que  es decir, x es en efecto el número que multiplicado dos veces da 8. 

La función exponencial es el límite de la sucessión : y ln(8) se puede hallar calculando una serie. 

De forma más general para a>0  y x es el número tal que 
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